Analysis Beispiele

$\frac{f (x) (a x + b x^{2})}{a m + b m^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $a x + b x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $a x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x a + b x^{2})}{a m + b m^{2}}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $b x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x a + x (b x))}{a m + b m^{2}}]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x a + x (b x)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) (x (a + b x))}{a m + b m^{2}}]$

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{a m + b m^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $m$ aus $a m + b m^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $m$ aus $a m$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m a + b m^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $m$ aus $b m^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m a + m (b m)}]$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $m$ aus $m a + m (b m)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x) x (a + b x)}{m (a + b m)}]$

Schritt 2.2

Stelle die Faktoren in $\frac{f (x) x (a + b x)}{m (a + b m)}$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (a + b x) f (x)}{m (a + b m)}]$

Schritt 2.3

Da $\frac{f (x)}{m (a + b m)}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x (a + b x) f (x)}{m (a + b m)}$ nach $x$ gleich $\frac{f (x)}{m (a + b m)} \frac{d}{d x} [x (a + b x)]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} \frac{d}{d x} [x (a + b x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = a + b x$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x \frac{d}{d x} [a + b x] + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a + b x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (0 + \frac{d}{d x} [b x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [b x]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x \frac{d}{d x} [b x] + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b x$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (b \frac{d}{d x} [x]) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x (b \cdot 1) + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + (a + b x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + (a + b x) \cdot 1)$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $a + b x$ mit $1$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (x b + a + b x)$

Schritt 5

Addiere $x b$ und $b x$ .

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Schritt 5.1

Stelle $x$ und $b$ um.

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (a + b x + b x)$

Schritt 5.2

Addiere $b x$ und $b x$ .

$\frac{f (x)}{m (a + b m)} (a + 2 b x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{f (x)}{m a + m (b m)} (a + 2 b x)$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{f (x)}{m a + m (b m)} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Schritt 6.3

Vereine die Terme

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Schritt 6.3.1

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m)} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Schritt 6.3.2

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m^{1})} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Schritt 6.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{f (x)}{m a + b m^{1 + 1}} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Schritt 6.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{f (x)}{m a + b m^{2}} a + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Schritt 6.3.5

Kombiniere $\frac{f (x)}{m a + b m^{2}}$ und $a$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + m (b m)} (2 b x)$

Schritt 6.3.6

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m)} (2 b x)$

Schritt 6.3.7

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b (m^{1} m^{1})} (2 b x)$

Schritt 6.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b m^{1 + 1}} (2 b x)$

Schritt 6.3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{f (x)}{m a + b m^{2}} (2 b x)$

Schritt 6.3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{f (x)}{m a + b m^{2}}$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{2 f (x)}{m a + b m^{2}} (b x)$

Schritt 6.3.11

Kombiniere $b$ und $\frac{2 f (x)}{m a + b m^{2}}$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{b (2 f (x))}{m a + b m^{2}} x$

Schritt 6.3.12

Kombiniere $\frac{b (2 f (x))}{m a + b m^{2}}$ und $x$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{b (2 f (x)) x}{m a + b m^{2}}$

Schritt 6.3.13

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{f (x) a}{m a + b m^{2}} + \frac{2 \cdot b f (x) x}{m a + b m^{2}}$

Schritt 6.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{f (x) a + 2 b f (x) x}{m a + b m^{2}}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{a f (x) + 2 b x f (x)}{a m + m^{2} b}$