Analysis Beispiele

$\arctan (x - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + 0)$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \cdot 1$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2} + 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{1}{(x - 1) (x - 1) + 1}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1}$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1}$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Schritt 3.2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Schritt 3.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x + 1 + 1}$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1 + 1}$

Schritt 3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 2}$