Analysis Beispiele

$\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ und $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

Schritt 3.5

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.3.7

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.4

Dividiere $0$ durch $x^{2} + 1$ .

$0$