Analysis Beispiele

$\cot (x) \sec (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cot (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc^{2} (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\cot (x) \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $\cot (x) \sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1}{\sin (x)} \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 4.2.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\csc (x) \tan (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 4.2.3

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1

Stelle $\csc (x)$ und $\tan (x)$ um.

$\tan (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $\csc (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 4.2.3.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1}{\cos (x)} - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 4.2.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 4.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) - \csc^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$\sec (x) \cdot 1 - \csc^{2} (x) \sec (x)$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \csc^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \csc^{2} (x))$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \csc^{2} (x))$ heraus.

$\sec (x) (1 - \csc^{2} (x))$

Schritt 4.4

Stelle $1$ und $- \csc^{2} (x)$ um.

$\sec (x) (- \csc^{2} (x) + 1)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (x)$ heraus.

$\sec (x) (- (\csc^{2} (x)) + 1)$

Schritt 4.6

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\sec (x) (- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\sec (x) (- (\csc^{2} (x) - 1))$

Schritt 4.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec (x) (- \cot^{2} (x))$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \sec (x) \cot^{2} (x)$