Analysis Beispiele

$\csc (x) \tan (x) \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \csc (x) \tan (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\csc (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \tan (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \tan (x)]$

Schritt 3

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 5

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\csc (x) \sec^{2} (x)) + \cos (x) (\tan (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$\csc (x) \tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \csc (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \tan (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$- \csc (x) \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.1

Füge Klammern hinzu.

$- (\csc (x) \sin (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.1.2

Schreibe $- \csc (x) \sin (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$- 1 \cdot 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.4

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.6.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)} \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x) - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.8

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.9

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \cos (x) \cot (x) \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.10

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.11

Multipliziere $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.11.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.11.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.11.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \csc (x) \tan (x)$

Schritt 6.4.12

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \tan (x)$

Schritt 6.4.13

Multipliziere $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} \tan (x)$

Schritt 6.4.13.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \tan (x)$

Schritt 6.4.13.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \tan (x)$

Schritt 6.4.13.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \tan (x)$

Schritt 6.4.13.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \tan (x)$

Schritt 6.4.14

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.4.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.15.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ in den Zähler.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.4.15.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.4.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.4.15.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Schritt 6.4.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.16.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Schritt 6.4.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Schritt 6.4.16.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.4.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$- \tan (x) + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.5.2

Separiere Brüche.

$- \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.5.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sec (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.5.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$- \tan (x) + \csc (x) \sec (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.5.5

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$- \tan (x) + \csc (x) \sec (x) - \cot (x)$