Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} \arctan (5 x^{3})$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} \arctan (5 x^{3})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \arctan (5 x^{3})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \arctan (5 x^{3})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \arctan (5 x^{3})$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{3})] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 5 x^{3}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + {(5 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 (x^{3})$ an.

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + 25 x^{6}}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Kombiniere $5$ und $\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ .

$2 (\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} (3 x^{2}) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ .

$2 (\frac{3 (5 x^{2})}{1 + 25 x^{6}} x^{2} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$2 (\frac{15 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} x^{2} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.6.3

Kombiniere $\frac{15 x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{15 x^{2} x^{2}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (\frac{15 (x^{2} x^{2})}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (\frac{15 x^{2 + 2}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) (2 x))$

Schritt 7

Um $\arctan (5 x^{3}) (2 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + 25 x^{6}}{1 + 25 x^{6}}$ .

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \frac{\arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 9

Kombiniere $2$ und $\frac{15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}}$ .

$\frac{2 (15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1 + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (15 x^{4}) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.1

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{30 x^{4} + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{30 x^{4} + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 (\arctan (5 x^{3}) x) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1.5.1

Bewege $x^{6}$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 (x^{6} x)) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.1.5.2

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $x$ .

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Schritt 10.3.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 (x^{6} x^{1})) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x^{6 + 1}) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.1.5.3

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x^{7}) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x^{7} \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.1.7

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (50 \arctan (5 x^{3}) x^{7})}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.1.8

Mutltipliziere $50$ mit $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 100 \arctan (5 x^{3}) x^{7}}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.3.2

Stelle die Faktoren in $30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 100 \arctan (5 x^{3}) x^{7}$ um.

$\frac{30 x^{4} + 4 x \arctan (5 x^{3}) + 100 x^{7} \arctan (5 x^{3})}{1 + 25 x^{6}}$

Schritt 10.4

Stelle die Terme um.

$\frac{30 x^{4} + 4 x \arctan (5 x^{3}) + 100 x^{7} \arctan (5 x^{3})}{25 x^{6} + 1}$