Analysis Beispiele

$f (x) = 2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Schritt 1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (\frac{1}{x})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))$

Schritt 2.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{x}$ zu dividieren.

$0 + 3 (1 x (- x^{- 2}))$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$0 + 3 (x (- x^{- 2}))$

Schritt 2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 + 3 (- (x^{1} x^{- 2}))$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + 3 (- x^{1 - 2})$

Schritt 2.9

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 + 3 (- x^{- 1})$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - 3 x^{- 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 3}{x}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{3}{x}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $\frac{3}{x}$ von $0$ .

$- \frac{3}{x}$