Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} {(x - 9)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 9)}^{2}$ als $(x - 9) (x - 9)$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 9) (x - 9))]$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 9) (x - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 9) - 9 (x - 9))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Schritt 3.1.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 x - 9 x + 81)]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $9 x$ von $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 18 x + 81)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} - 18 x + 81$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 18 x + 81] + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 18 x + 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.3

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (2 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{3} (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$x^{3} (2 x - 18 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.6

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{3} (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.7

Addiere $2 x - 18$ und $0$ .

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) (3 x^{2})$

Schritt 5.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} - 18 x + 81$ .

$x^{3} (2 x - 18) + 3 \cdot (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + (3 x^{2} + 3 (- 18 x) + 3 \cdot 81) x^{2}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{4} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$2 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.3

Bringe $- 18$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$2 x^{4} - 18 \cdot x^{3} + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2 + 2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.5

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x) + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{2 + 1} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 3 \cdot 81 x^{2}$

Schritt 6.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

Schritt 6.4.8

Addiere $2 x^{4}$ und $3 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

Schritt 6.4.9

Subtrahiere $54 x^{3}$ von $- 18 x^{3}$ .

$5 x^{4} - 72 x^{3} + 243 x^{2}$