Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{8 x}{x^{5} + 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 x$ und $g (x) = x^{5} + 3$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [8 x] - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{5} + 3) (8 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{5} + 3) (8 \cdot 1) - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4} + 0)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{5} \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$\frac{8 \cdot x^{5} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x \cdot x^{4}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.4.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 (x^{4} x)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 (x^{4} x^{1})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x^{4 + 1}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4.3

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $- 1 \cdot 8 \cdot 5$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 8 \cdot 5 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 40 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $40 x^{5}$ von $8 x^{5}$ .

$\frac{- 32 x^{5} + 24}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $8$ aus $- 32 x^{5} + 24$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $8$ aus $- 32 x^{5}$ heraus.

$\frac{8 (- 4 x^{5}) + 24}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$\frac{8 (- 4 x^{5}) + 8 (3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 4 x^{5}) + 8 (3)$ heraus.

$\frac{8 (- 4 x^{5} + 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{5}$ heraus.

$\frac{8 (- (4 x^{5}) + 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{8 (- (4 x^{5}) - 1 (- 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{5}) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{8 (- (4 x^{5} - 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.7

Schreibe $- (4 x^{5} - 3)$ als $- 1 (4 x^{5} - 3)$ um.

$\frac{8 (- 1 (4 x^{5} - 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (4 x^{5} - 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$