Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} e^{4 x + 1}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} e^{4 x + 1}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x + 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x + 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{4 x + 1}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x + 1}] + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + 1$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 1$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 + 0)) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} \cdot 4) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x + 1}$ .

$3 (x^{2} (4 \cdot e^{4 x + 1}) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} (4 e^{4 x + 1}) + e^{4 x + 1} (2 x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{2} (4 e^{4 x + 1})) + 3 (e^{4 x + 1} (2 x))$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 (x^{2} (e^{4 x + 1})) + 3 (e^{4 x + 1} (2 x))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$12 x^{2} e^{4 x + 1} + 6 e^{4 x + 1} x$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$12 e^{4 x + 1} x^{2} + 6 e^{4 x + 1} x$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $12 e^{4 x + 1} x^{2} + 6 e^{4 x + 1} x$ um.

$12 x^{2} e^{4 x + 1} + 6 x e^{4 x + 1}$