Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \sin (x) - 3 \cos (x) + x \tan (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin (x) - 3 \cos (x) + x \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (x) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [x \tan (x)]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [x \tan (x)]$ .

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$2 \cos (x) + 3 \sin (x) + x \sec^{2} (x) + \tan (x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Terme um.

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Schritt 5.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Schritt 5.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{x}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$

Schritt 5.2.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{x}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.2

Separiere Brüche.

$\frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\frac{x}{1} \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$x \sec^{2} (x) + 2 \cos (x) + 3 \sin (x) + \tan (x)$