Analysis Beispiele

$f (x) = 4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 e^{x} \cos (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cdot e^{x}]$

Schritt 3.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin (x) e^{x}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = e^{x}$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (e^{x} (\sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $4 \sin (x) e^{x}$ von $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Bewege $\sin (x)$ .

$- 4 e^{x} \sin (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $4 e^{x} \sin (x)$ von $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $4 e^{x} \cos (x)$ von $4 \cos (x) e^{x}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Bewege $\cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \cos (x)$

Schritt 4.3.3.2

Subtrahiere $4 e^{x} \cos (x)$ von $4 e^{x} \cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 0$

Schritt 4.3.4

Addiere $- 8 e^{x} \sin (x)$ und $0$ .

$- 8 e^{x} \sin (x)$