Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \ln (1 + x^{2})$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (1 + x^{2})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{1 + x^{2}}$ und $3$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} (2 x)$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1 + x^{2}} x$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{1 + x^{2}} x$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{6}{1 + x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{6 x}{1 + x^{2}}$

Schritt 3.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x}{x^{2} + 1}$