Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{6}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 3.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x^{6}} x^{5} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{6}{x^{6}}$ und $x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6 x^{5}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $6 x^{5}$ heraus.

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Schritt 4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 e^{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 e^{x}$

Schritt 5

Vereine die Terme

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 + 6}{x} + 8 e^{x}$

Schritt 5.2

Addiere $4$ und $6$ .

$\frac{10}{x} + 8 e^{x}$