Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \cos (2 \ln (x))$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cos (2 \ln (x))$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 \ln (x))]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (2 \ln (x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 \ln (x)$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 \ln (x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 \ln (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 \ln (x)$ .

$4 (- \sin (2 \ln (x)) \frac{d}{d x} [2 \ln (x)])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (\sin (2 \ln (x)) \frac{d}{d x} [2 \ln (x)])$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 4 \sin (2 \ln (x)) (2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 \sin (2 \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- 8 \sin (2 \ln (x)) \frac{1}{x}$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $- 8$ .

$\frac{- 8}{x} \sin (2 \ln (x))$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{- 8}{x}$ und $\sin (2 \ln (x))$ .

$\frac{- 8 \sin (2 \ln (x))}{x}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 \sin (2 \ln (x))}{x}$

Schritt 6

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{8 \sin (\ln (x^{2}))}{x}$