Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x (216 x^{- 2}) + 2 x^{2}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x (216 x^{- 2}) + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x (216 x^{- 2})] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x (216 x^{- 2})] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x (216 x^{- 2})]$ .

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $216$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [864 x \cdot x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$\frac{d}{d x} [864 (x^{- 2} x)] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [864 (x^{- 2} x^{1})] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [864 x^{- 2 + 1}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [864 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2.3

Da $864$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $864 x^{- 1}$ nach $x$ gleich $864 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$864 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$864 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $864$ .

$- 864 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 864 x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 864 x^{- 2} + 2 (2 x)$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 864 x^{- 2} + 4 x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 864 \frac{1}{x^{2}} + 4 x$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 864$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 864}{x^{2}} + 4 x$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{864}{x^{2}} + 4 x$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$4 x - \frac{864}{x^{2}}$