Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{4} - \frac{1}{4 x^{4}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{4} - \frac{1}{4 x^{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{4 x^{4}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Schritt 3.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Schritt 3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Schritt 3.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{- 5})$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$16 x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) x^{- 5}$

Schritt 3.9

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$16 x^{3} + \frac{4}{4} x^{- 5}$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{- 5}$ .

$16 x^{3} + \frac{4 x^{- 5}}{4}$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x^{3} + \frac{4}{4 x^{5}}$

Schritt 3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{3} + \frac{4}{4 x^{5}}$

Schritt 3.12.2

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$