Analysis Beispiele

$f (x) = 66 x + \ln (3 x^{4} + 13)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $66 x + \ln (3 x^{4} + 13)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [66 x] + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$ .

$\frac{d}{d x} [66 x] + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [66 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $66$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $66 x$ nach $x$ gleich $66 \frac{d}{d x} [x]$ .

$66 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$66 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $66$ mit $1$ .

$66 + \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} + 13)]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x^{4} + 13$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{4} + 13$ .

$66 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 13]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$66 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 13]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{4} + 13$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 13]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} + 13$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [13])$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [13])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [13])$

Schritt 3.5

Da $13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $13$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (3 (4 x^{3}) + 0)$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (12 x^{3} + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $12 x^{3}$ und $0$ .

$66 + \frac{1}{3 x^{4} + 13} (12 x^{3})$

Schritt 3.8

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{3 x^{4} + 13}$ .

$66 + \frac{12}{3 x^{4} + 13} x^{3}$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{12}{3 x^{4} + 13}$ und $x^{3}$ .

$66 + \frac{12 x^{3}}{3 x^{4} + 13}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.1

Um $66$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x^{4} + 13}{3 x^{4} + 13}$ .

$\frac{66 (3 x^{4} + 13)}{3 x^{4} + 13} + \frac{12 x^{3}}{3 x^{4} + 13}$

Schritt 4.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{66 (3 x^{4} + 13) + 12 x^{3}}{3 x^{4} + 13}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{12 x^{3} + 66 (3 x^{4} + 13)}{3 x^{4} + 13}$