Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 \ln (x)}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x$ .

$2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $2 (- \ln (x))$ .

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2 \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$