Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{3}{\sin^{2} (7 x)}$

Schritt 1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{\sin^{2} (7 x)}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}]$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}$ nach $\csc^{2} (7 x)$ um.

$- 3 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (7 x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (7 x)$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (7 x)$ .

$- 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (7 x)$ .

$- 3 (2 \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Schritt 4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 (\csc (7 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 x$ .

$- 6 \csc (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 6 \csc (7 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x$ .

$- 6 \csc (7 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$6 \csc (7 x) (\csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 7

Potenziere $\csc (7 x)$ mit $1$ .

$6 (\csc^{1} (7 x) \csc (7 x)) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 8

Potenziere $\csc (7 x)$ mit $1$ .

$6 (\csc^{1} (7 x) \csc^{1} (7 x)) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 {\csc (7 x)}^{1 + 1} (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$6 \csc^{2} (7 x) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Schritt 11

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) \cdot 1$

Schritt 14

Mutltipliziere $42$ mit $1$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x)$