Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x}{270}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{270}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x}{270}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{270} \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x]$ .

$\frac{1}{270} \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 135 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x]$ .

$\frac{1}{270} (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Schritt 3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{270} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{270} (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Schritt 5

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Schritt 6

Da $40$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $40 x^{3}$ nach $x$ gleich $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [135 x])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [135 x])$

Schritt 8

Mutltipliziere $3$ mit $40$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [135 x])$

Schritt 9

Da $135$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $135 x$ nach $x$ gleich $135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 135 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 135 \cdot 1)$

Schritt 11

Mutltipliziere $135$ mit $1$ .

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 135)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{270} (- 15 x^{4}) + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2

Vereine die Terme

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{270}$ .

$\frac{- 15}{270} x^{4} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $\frac{- 15}{270}$ und $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{270} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $270$ .

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Schritt 12.2.3.1

Faktorisiere $15$ aus $- 15 x^{4}$ heraus.

$\frac{15 (- x^{4})}{270} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.2.1

Faktorisiere $15$ aus $270$ heraus.

$\frac{15 (- x^{4})}{15 (18)} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 (- x^{4})}{15 \cdot 18} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{4}}{18} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{1}{270} (120 x^{2}) + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.5

Kombiniere $120$ und $\frac{1}{270}$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{120}{270} x^{2} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.6

Kombiniere $\frac{120}{270}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{120 x^{2}}{270} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $120$ und $270$ .

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Schritt 12.2.7.1

Faktorisiere $30$ aus $120 x^{2}$ heraus.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{30 (4 x^{2})}{270} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.7.2.1

Faktorisiere $30$ aus $270$ heraus.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{30 (4 x^{2})}{30 (9)} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{30 (4 x^{2})}{30 \cdot 9} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{1}{270} \cdot 135$

Schritt 12.2.8

Kombiniere $\frac{1}{270}$ und $135$ .

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135}{270}$

Schritt 12.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $135$ und $270$ .

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Schritt 12.2.9.1

Faktorisiere $135$ aus $135$ heraus.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135 (1)}{270}$

Schritt 12.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.9.2.1

Faktorisiere $135$ aus $270$ heraus.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135 \cdot 1}{135 \cdot 2}$

Schritt 12.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{135 \cdot 1}{135 \cdot 2}$

Schritt 12.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{4}}{18} + \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{1}{2}$