Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5}{1 + 2 e^{0.5 x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{1 + 2 e^{0.5 x}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 2 e^{0.5 x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 2 e^{0.5 x}}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{1 + 2 e^{0.5 x}}$ als ${(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + 2 e^{0.5 x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + 2 e^{0.5 x}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{0.5 x}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{0.5 x}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 2 e^{0.5 x}$ .

$5 (- {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{0.5 x}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 ({(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{0.5 x}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 e^{0.5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{0.5 x}]$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{0.5 x}])$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [2 e^{0.5 x}])$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 e^{0.5 x}]$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 e^{0.5 x}]$

Schritt 3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{0.5 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [e^{0.5 x}])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- 10 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 0.5 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $0.5 x$ .

$- 10 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [0.5 x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 10 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [0.5 x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $0.5 x$ .

$- 10 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (e^{0.5 x} \frac{d}{d x} [0.5 x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.5 x$ nach $x$ gleich $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0.5$ mit $- 10$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (e^{0.5 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} (e^{0.5 x} \cdot 1)$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $e^{0.5 x}$ mit $1$ .

$- 5 {(1 + 2 e^{0.5 x})}^{- 2} e^{0.5 x}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}} e^{0.5 x}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}} e^{0.5 x}$

Schritt 6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}} e^{0.5 x}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $e^{0.5 x}$ und $\frac{5}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{0.5 x} \cdot 5}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}}$

Schritt 6.2.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{0.5 x}$ .

$- \frac{5 e^{0.5 x}}{{(1 + 2 e^{0.5 x})}^{2}}$