Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x + 1}{(3 x - 1) (2 x + 5)} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{3 x - 1}$

Schritt 1.1.2

$\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(3 x - 1) (2 x + 5)$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 1$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 5$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere $2 x + 1$ durch $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 1$ .

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Schritt 1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 1 = \frac{A (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.6.1.2

Dividiere $(A) (2 x + 5)$ durch $1$ .

$2 x + 1 = (A) (2 x + 5) + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 1 = A (2 x) + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x + 1 = 2 A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.6.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $A$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 5$ .

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Schritt 1.1.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Schritt 1.1.6.5.2

Dividiere $(B) (3 x - 1)$ durch $1$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + (B) (3 x - 1)$

Schritt 1.1.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + B (3 x) + B \cdot - 1$

Schritt 1.1.6.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x + B \cdot - 1$

Schritt 1.1.6.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - 1 \cdot B$

Schritt 1.1.6.9

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - B$

Schritt 1.1.7

Stelle um.

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Schritt 1.1.7.1

Bewege $A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 B x - B$

Schritt 1.1.7.2

Bewege $B$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 x B - B$

Schritt 1.1.7.3

Bewege $5 A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 3 x B + 5 A - B$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = 2 A + 3 B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 5 A - 1 B$

Schritt 1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $2 = 2 A + 3 B$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $2 A + 3 B = 2$ um.

$2 A + 3 B = 2$

$1 = 5 A - 1 B$

Schritt 1.3.1.2

Subtrahiere $3 B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 A = 2 - 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Schritt 1.3.1.3

Teile jeden Ausdruck in $2 A = 2 - 3 B$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 A = 2 - 3 B$ durch $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Schritt 1.3.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Schritt 1.3.1.3.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Schritt 1.3.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.3.3.1.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$A = 1 + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Schritt 1.3.1.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1 - \frac{3 B}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = 5 A - 1 B$ durch $1 - \frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache $5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$ .

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 = 5 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.3

Multipliziere $5 (- \frac{3 B}{2})$ .

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Schritt 1.3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$1 = 5 - 5 \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 + \frac{- 5 (3 B)}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.1.5

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Um $- B$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.2.2.1.3.1

Kombiniere $- B$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $B$ aus $- 15 B - B \cdot 2$ heraus.

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Schritt 1.3.2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $B$ aus $- 15 B$ heraus.

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $B$ aus $- B \cdot 2$ heraus.

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $B$ aus $B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $2$ von $- 15$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.4.2

Bringe $- 17$ auf die linke Seite von $B$ .

$1 = 5 + \frac{- 17 \cdot B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.2.2.1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3

Löse in $1 = 5 - \frac{17 B}{2}$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $5 - \frac{17 B}{2} = 1$ um.

$5 - \frac{17 B}{2} = 1$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{17 B}{2} = 1 - 5$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{2}{17}$ .

$- \frac{2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.4.1.1

Vereinfache $- \frac{2}{17} (- \frac{17 B}{2})$ .

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Schritt 1.3.3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{17}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{17 B}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 1.3.3.4.1.1.2.1

Faktorisiere $17$ aus $- 17 B$ heraus.

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 1.3.3.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.4.2.1

Multipliziere $- \frac{2}{17} \cdot - 4$ .

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Schritt 1.3.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$B = 4 (\frac{2}{17})$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{17}$ .

$B = \frac{4 \cdot 2}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.3.4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{8}{17}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = 1 - \frac{3 B}{2}$ durch $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.2.1.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{\frac{3 \cdot 8}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$A = 1 - \frac{\frac{24}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.3.4.2.1.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$A = 1 - (\frac{24}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.3.4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$A = 1 - (\frac{2 (12)}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.3.4.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = 1 - (\frac{2 \cdot 12}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.3.4.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.4.2.1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{17}{17} - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.3.4.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{17 - 12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.3.4.2.1.2.3

Subtrahiere $12$ von $17$ .

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{5}{17}, B = \frac{8}{17}$

Schritt 1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{5}{17}}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{5}{17} \cdot \frac{1}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{5}{17}$ mit $\frac{1}{3 x - 1}$ .

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17} \cdot \frac{1}{2 x + 5}$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $\frac{8}{17}$ mit $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Schritt 3

Da $\frac{5}{17}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{5}{17}$ aus dem Integral.

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 x - 1} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = 3 x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = 3 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Schritt 5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{5}{17} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{5}{17}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $17$ .

$\frac{5}{51} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Schritt 9

Da $\frac{8}{17}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{8}{17}$ aus dem Integral.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Schritt 10

Sei $u_{2} = 2 x + 5$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = 2 x + 5$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 10.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 10.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 10.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 10.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 10.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 10.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 10.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 10.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 11.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{8}{17}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $34$ .

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 (4)}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $34$ heraus.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{5}{51} \ln (| u_{1} |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x - 1$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x + 5$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| 2 x + 5 |) + C$