Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{3 t^{2} + t}}$

Schritt 1

Faktorisiere $t$ aus $3 t^{2} + t$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $t$ aus $3 t^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t) + t}}]$

Schritt 1.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t) + t^{1}}}]$

Schritt 1.3

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t) + t \cdot 1}}]$

Schritt 1.4

Faktorisiere $t$ aus $t (3 t) + t \cdot 1$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}]$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}]$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{\sqrt[3]{t (3 t + 1)} {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}]$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt[3]{t (3 t + 1)}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{1} {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}]$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{1 + 2}}]$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{3}}]$

Schritt 3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{3}$ als $t (3 t + 1)$ um.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t (3 t + 1)}$ als ${(t (3 t + 1))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{({(t (3 t + 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}]$

Schritt 3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}]$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{\frac{3}{3}}}]$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{\frac{3}{3}}}]$

Schritt 3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{{(t (3 t + 1))}^{1}}]$

Schritt 3.5.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 {\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}}{t (3 t + 1)}]$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{t (3 t + 1)}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(t (3 t + 1))}^{2}}$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \sqrt[3]{{(t (3 t + 1))}^{2}}}{t (3 t + 1)}]$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $t (3 t + 1)$ an.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \sqrt[3]{t^{2} {(3 t + 1)}^{2}}}{t (3 t + 1)}]$

Schritt 5

Da $\frac{4 \sqrt[3]{t^{2} {(3 t + 1)}^{2}}}{t (3 t + 1)}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 \sqrt[3]{t^{2} {(3 t + 1)}^{2}}}{t (3 t + 1)}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$