Analysis Beispiele

Ermitteln, wo ansteigend/abfallend mittels Ableitungen x^2-x- natürlicher Logarithmus von x
Schritt 1
Schreibe als Funktion.
Schritt 2
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 2.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 2.1.1
Differenziere.
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Schritt 2.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.2
Berechne .
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Schritt 2.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3
Berechne .
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Schritt 2.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.1.3.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 2.1.4
Stelle die Terme um.
Schritt 2.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 3
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 3.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 3.2
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
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Schritt 3.2.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 3.2.2
Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.
Schritt 3.3
Multipliziere jeden Term in mit um die Brüche zu eliminieren.
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Schritt 3.3.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 3.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 3.3.2.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 3.3.2.1.1.1
Bewege .
Schritt 3.3.2.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.3.2.1.2.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 3.3.2.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.3.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4
Löse die Gleichung.
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Schritt 3.4.1
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 3.4.1.1
Stelle die Terme um.
Schritt 3.4.1.2
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 3.4.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.4.1.2.2
Schreibe um als plus
Schritt 3.4.1.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.4.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.1.3
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 3.4.1.3.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 3.4.1.3.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 3.4.1.4
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 3.4.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 3.4.3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 3.4.3.1
Setze gleich .
Schritt 3.4.3.2
Löse nach auf.
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Schritt 3.4.3.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.4.3.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.4.3.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.4.3.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.4.3.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.4.3.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.4.3.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.4.3.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 3.4.3.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.4.4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 3.4.4.1
Setze gleich .
Schritt 3.4.4.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.4.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 4
Die Werte, die die Ableitung gleich machen, sind .
Schritt 5
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 6
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum, sodass die Ableitung gleich oder nicht definiert ist.
Schritt 7
Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.
Schritt 8
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 8.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 8.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 8.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 8.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 8.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 8.2.2.1
Addiere und .
Schritt 8.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 8.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 9
Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.
Schritt 10
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 10.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 10.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.2.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 10.2.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 10.2.1.2
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 10.2.1.3
Multipliziere .
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Schritt 10.2.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.2.2
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
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Schritt 10.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 10.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 10.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 10.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 11
Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.
Schritt 12
Setze einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.
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Schritt 12.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 12.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 12.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
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Schritt 12.2.2.1
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 12.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.2.4
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 12.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 12.2.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2.5
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 12.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 12.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 12.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12.3
Bei ist die Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall an.
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 13
Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.
Ansteigend im Intervall:
Abfallend im Intervall:
Schritt 14