Analysis Beispiele

$f (x) = \ln ({(x^{4} + 1)}^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))$

Schritt 3.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))$

Schritt 3.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4} + 1$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (4 \cdot (x^{4} + 1) x^{3})$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

Schritt 3.5.5

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

Schritt 3.5.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{8 \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$ um.

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4} + 1$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{4} + 1$ aus ${(x^{4} + 1)}^{2}$ heraus.

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 1}$