Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{9 + x}{1 - 9 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 9 + x$ und $g (x) = 1 - 9 x$ .

$\frac{(1 - 9 x) \frac{d}{d x} [9 + x] - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 9 x) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [x]) - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - 9 x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 9 x) \frac{d}{d x} [x] - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 - 9 x) \cdot 1 - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $1 - 9 x$ mit $1$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) \frac{d}{d x} [- 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (- 9 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x) \cdot 1}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x)}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - 9 x + 9 \cdot 9 + 9 x}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - 9 x + 9 \cdot 9 + 9 x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Addiere $- 9 x$ und $9 x$ .

$\frac{1 + 9 \cdot 9 + 0}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $1 + 9 \cdot 9$ und $0$ .

$\frac{1 + 9 \cdot 9}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{1 + 81}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $81$ .

$\frac{82}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{82}{{(- 9 x + 1)}^{2}}$