Analysis Beispiele

$f (x) = \cos^{3} (\frac{x}{x + 1})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (\frac{x}{x + 1})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (\frac{x}{x + 1})$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{x}{x + 1}$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{x}{x + 1}$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (- \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (\sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.6.5

Kombiniere $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{2}} \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})$

Schritt 5.6.6

Kombiniere $\frac{- 3}{{(x + 1)}^{2}}$ und $\cos^{2} (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}} \sin (\frac{x}{x + 1})$

Schritt 5.6.7

Kombiniere $\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$ und $\sin (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$