Analysis Beispiele

$f (x) = \cot^{3} (\sqrt{x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\cot^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cot (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $- 3$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3}{2} \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3}{2}$ und $\cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ und $\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 14.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$