Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{8 (x - t)}{x^{2}}$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 (x - t)}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{x - t}{x^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x - t}{x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - t$ und $g (x) = x^{2}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - t] - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - t$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- t]) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.4

Da $- t$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- t$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$8 \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$8 \frac{x^{2} - (x - t) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 \frac{x^{2} - (x - t) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 \frac{x^{2} - 2 (x - t) x}{x^{4}}$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 (x - t) x$ heraus.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$8 \frac{x \cdot x - 2 (x - t) x}{x^{4}}$

Schritt 3.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (x - t) x$ heraus.

$8 \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - t))}{x^{4}}$

Schritt 3.7.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 2 (x - t))$ heraus.

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x^{4}}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{x (x - 2 (x - t))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \frac{x - 2 (x - t)}{x^{3}}$

Schritt 5

Kombiniere $8$ und $\frac{x - 2 (x - t)}{x^{3}}$ .

$\frac{8 (x - 2 (x - t))}{x^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (x - 2 x - 2 (- t))}{x^{3}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x + 8 (- 2 x) + 8 (- 2 (- t))}{x^{3}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{8 x - 16 x + 8 (- 2 (- t))}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{8 x - 16 x + 8 (2 t)}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{8 x - 16 x + 16 t}{x^{3}}$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $16 x$ von $8 x$ .

$\frac{- 8 x + 16 t}{x^{3}}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{16 t - 8 x}{x^{3}}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $8$ aus $16 t - 8 x$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $8$ aus $16 t$ heraus.

$\frac{8 (2 t) - 8 x}{x^{3}}$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{8 (2 t) + 8 (- x)}{x^{3}}$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (2 t) + 8 (- x)$ heraus.

$\frac{8 (2 t - x)}{x^{3}}$