Analysis Beispiele

$y = \cos (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - e^{5 x}$ und $g (x) = 1 + e^{5 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{5 x}] - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) \frac{d}{d x} [- e^{5 x}] - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{5 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x} \cdot 1) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 5.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 5.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $5 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $5 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 7.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $e^{5 x}$ mit $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $\frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$ und $\sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})$ .

$- \frac{((1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(1 (- 5 e^{5 x}) + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(1 (- 5 e^{5 x}) + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) + (- 5 \cdot 1 - 5 (- e^{5 x})) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{(1 (- 5 e^{5 x}) + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.1.1

Mutltipliziere $- 5 e^{5 x}$ mit $1$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x} e^{5 x} - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.3

Multipliziere $e^{5 x}$ mit $e^{5 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1.3.1

Bewege $e^{5 x}$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 (e^{5 x} e^{5 x}) - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x + 5 x} - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.3.3

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.5

Multipliziere $e^{5 x}$ mit $e^{5 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.1.5.1

Bewege $e^{5 x}$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- (e^{5 x} e^{5 x}))) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x + 5 x})) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.5.3

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- e^{10 x})) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} + 5 e^{10 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} + 5 e^{10 x}$ .

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Schritt 8.4.2.1

Addiere $- 5 e^{10 x}$ und $5 e^{10 x}$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} + 0 - 5 e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.2.2

Addiere $- 5 e^{5 x}$ und $0$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.4.3

Subtrahiere $5 e^{5 x}$ von $- 5 e^{5 x}$ .

$- \frac{- 10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.5

Vereine die Terme

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Schritt 8.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Schritt 8.5.3

Mutltipliziere $\frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$