Analysis Beispiele

$f (x) = \sec^{4} (x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sec (x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (x^{2})$ .

$4 \sec^{3} (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$4 \sec^{3} (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec^{3} (x^{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$4 \sec^{3} (x^{2}) (\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Potenziere $\sec (x^{2})$ mit $1$ .

$4 (\sec^{1} (x^{2}) \sec^{3} (x^{2})) (\tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {\sec (x^{2})}^{1 + 3} (\tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Addiere $1$ und $3$ .

$4 \sec^{4} (x^{2}) (\tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \sec^{4} (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 \sec^{4} (x^{2}) \tan (x^{2}) x$

Schritt 7.2

Stelle die Faktoren von $8 \sec^{4} (x^{2}) \tan (x^{2}) x$ um.

$8 x \sec^{4} (x^{2}) \tan (x^{2})$