Analysis Beispiele

$f (x) = \log_{6} (\sqrt{x^{2} + 1})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\log_{6} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{6} (x)$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{6} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log_{6} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 10

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6))} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 13.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 16

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 18

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (2 x + 0)$

Schritt 19

Vereinfache Terme.

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Schritt 19.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (2 x)$

Schritt 19.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} x$

Schritt 19.3

Kombiniere $\frac{2}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$

Schritt 19.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$

Schritt 19.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{(x^{2} + 1) \ln (6)}$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x}{x^{2} \ln (6) + 1 \ln (6)}$

Schritt 20.2

Mutltipliziere $\ln (6)$ mit $1$ .

$\frac{x}{x^{2} \ln (6) + \ln (6)}$