Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{18 x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{18 x}]$ als $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{2 x}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $18 x$ als $3^{2} \cdot (2 x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{9 (2) x}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3^{2} \cdot 2 x}]$

Schritt 1.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3^{2} \cdot (2 x)}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{2 x}]$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [3 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [3 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [3 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3

Da $3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12

Kombiniere $2^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} (3 x^{- \frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 13.2

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 13.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 14.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{3}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$