Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{\csc (2 x)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\csc (2 x)}$ als ${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \csc (2 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 7.3

Bringe ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 8.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\csc (2 x)$ .

$- \frac{\csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 9.2

Kombiniere $\cot (2 x)$ und $\frac{\csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 9.3

Bringe ${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10

Multipliziere $\csc (2 x)$ mit ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1

Bewege ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\cot (2 x) ({\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \csc (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10.2

Mutltipliziere ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ mit $\csc (2 x)$ .

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Schritt 10.2.1

Potenziere $\csc (2 x)$ mit $1$ .

$- \frac{\cot (2 x) ({\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \csc^{1} (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 (\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.4

Dividiere $- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren von $- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ um.

$- {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cot (2 x)$