Analysis Beispiele

$\int_{0}^{18} \sqrt{2 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 18$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$u_{upper} = 36$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 36$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{36} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{36} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{36}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $36$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(6^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 216 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 216}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{432}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $432$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $432$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{144}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2.4

Dividiere $144$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.8

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 6.2.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Schritt 6.2.12

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (144 + 0 (\frac{2}{3}))$

Schritt 6.2.13

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (144 + 0)$

Schritt 6.2.14

Addiere $144$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 144$

Schritt 6.2.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $144$ .

$\frac{144}{2}$

Schritt 6.2.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $144$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.16.1

Faktorisiere $2$ aus $144$ heraus.

$\frac{2 \cdot 72}{2}$

Schritt 6.2.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Schritt 6.2.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{72}{1}$

Schritt 6.2.16.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$72$

Schritt 7