Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x + \frac{c}{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + \frac{c}{x}$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $x + \frac{c}{x}$ mit $1$ .

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 4

Kombinieren.

$\frac{x (x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x^{1}) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + c - x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 14

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{c}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 17

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{c}{x}$ nach $x$ gleich $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 18

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- x^{- 2}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- c \frac{1}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $c$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- \frac{c}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 20.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{c}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.1.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - - c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + 1 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.1.6

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + c - x^{2} + c$ .

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Schritt 20.3.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{c + 0 + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.2.2

Addiere $c$ und $0$ .

$\frac{c + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.3.3

Addiere $c$ und $c$ .

$\frac{2 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 20.4.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x}{x} + \frac{c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x + c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x^{2} + c}{x})}^{2}}$

Schritt 20.4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{2} + c}{x}$ an.

$\frac{2 c}{x \frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 20.5

Kombiniere $x$ und $\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 20.6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x {(x^{2} + c)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x^{2}}}$

Schritt 20.6.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x \cdot x}}$

Schritt 20.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x \cdot x}}$

Schritt 20.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 c}{\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x}}$

Schritt 20.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Schritt 20.8

Multipliziere $2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

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Schritt 20.8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$c \frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Schritt 20.8.2

Kombiniere $c$ und $\frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$\frac{c (2 x)}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Schritt 20.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $c$ .

$\frac{2 c x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$