Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[4]{x^{5}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{5}}]$ als $\frac{d}{d x} [x \sqrt[4]{x}]$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{4} x}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt[4]{x}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}]$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 + 1}{4}}]$

Schritt 3.4

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1}$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$