Analysis Beispiele

$f (x) = x^{x^{4}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{x^{4}}$ als $e^{\ln (x^{x^{4}})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{4}})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{x^{4}})$ durch Herausziehen von $x^{4}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4} \ln (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{4} \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} \ln (x)$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.2.2.5

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} + e^{x^{4} \ln (x)} (\ln (x) (4 x^{3}))$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} + 4 e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} \ln (x)$