Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + {(200 - x)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(200 - x)}^{2}$ als $(200 - x) (200 - x)$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + (200 - x) (200 - x)]$

Schritt 2

Multipliziere $(200 - x) (200 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 200 (200 - x) - x (200 - x)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 200 \cdot 200 + 200 (- x) - x (200 - x)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 200 \cdot 200 + 200 (- x) - x \cdot 200 - x (- x)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $200$ mit $200$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 + 200 (- x) - x \cdot 200 - x (- x)]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $200$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - x \cdot 200 - x (- x)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $200$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x - x (- x)]$

Schritt 3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x]$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)]$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x - 1 \cdot - 1 x^{2}]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x + 1 x^{2}]$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 200 x - 200 x + x^{2}]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $200 x$ von $- 200 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 40000 - 400 x + x^{2}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 40000 - 400 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [- 400 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [- 400 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [- 400 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3

Da $40000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $40000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 400 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 400 x]$ .

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Schritt 5.1

Da $- 400$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 400 x$ nach $x$ gleich $- 400 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 - 400 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 0 - 400 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 400$ mit $1$ .

$2 x + 0 - 400 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 0 - 400 + 2 x$

Schritt 7

Vereine die Terme

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Schritt 7.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x - 400 + 2 x$

Schritt 7.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$4 x - 400$