Analysis Beispiele

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 - 2 \cos (x)} < 1$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 (1) - 2 \cos (x)} < 1$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (x)$ heraus.

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 (1) + 2 (- \cos (x))} < 1$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ heraus.

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} < 1$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in der Ungleichung mit $2 (1 - \cos (x))$ .

$1 (2 (1 - \cos (x))) - \frac{x^{2}}{6} (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $2 (1 - \cos (x))$ mit $1$ .

$2 (1 - \cos (x)) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 (- \cos (x)) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{6}$ in den Zähler.

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{2 (3)} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{2 \cdot 3} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{3} \cdot (1 - \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} \cdot (1 - \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} \cdot 1 - \frac{x^{2}}{3} \cdot (- \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3} \cdot (- \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.9

Multipliziere $- \frac{x^{2}}{3} (- \cos (x))$ .

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + 1 (\frac{x^{2}}{3}) \cdot \cos (x) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{3}$ mit $1$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \cos (x) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.9.3

Kombiniere $\frac{x^{2}}{3}$ und $\cos (x)$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < 2 (\frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))}) \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < 2 (\frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))}) \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < \frac{x \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - \cos (x)$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < \frac{x \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Schritt 7

Mutltipliziere $2 (1 - \cos (x))$ mit $1$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 (1 - \cos (x))$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))$

Schritt 9

Multipliziere.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 + 2 (- \cos (x))$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 - 2 \cos (x)$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3}, 2 - 2 \cos (x))$

Schritt 11