Analysis Beispiele

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25} > 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$4 - 3 x - x^{2} = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $4 - 3 x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.1.1.1

Bewege $4$ .

$- 3 x - x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Stelle $- 3 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (3 x)$ heraus.

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 1) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 4$

Schritt 7

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25$

Schritt 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 9

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 10

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 10.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 11

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1, - 4$

$x = 5, - 5$

Schritt 12

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, - 4, 5, - 5$

Schritt 13

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ .

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Schritt 13.1

Setze den Nenner in $\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 25}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 25 = 0$

Schritt 13.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25$

Schritt 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 13.2.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 13.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 13.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 13.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 13.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 13.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 13.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 14

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 15

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 15.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 15.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - 3 \cdot - 8 - {(- 8)}^{2}}{{(- 8)}^{2} - 25} > 0$

Schritt 15.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{923076}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 15.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4.5$

Schritt 15.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - 3 \cdot - 4.5 - {(- 4.5)}^{2}}{{(- 4.5)}^{2} - 25} > 0$

Schritt 15.2.3

Die linke Seite $0.57894736$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 15.3

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 15.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - 3 \cdot 0 - {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 25} > 0$

Schritt 15.3.3

Die linke Seite $- 0.16$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 15.4

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 15.4.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - 3 \cdot 3 - {(3)}^{2}}{{(3)}^{2} - 25} > 0$

Schritt 15.4.3

Die linke Seite $0.875$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 15.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 15.5.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - 3 \cdot 8 - {(8)}^{2}}{{(8)}^{2} - 25} > 0$

Schritt 15.5.3

Die linke Seite $- 2.\overline{153846}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 15.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 16

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 < x < - 4$ oder $1 < x < 5$

Schritt 17

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 5, - 4) \cup (1, 5)$

Schritt 18