Analysis Beispiele

$| x - 3 | + | x + 2 | < 11$

Schritt 1

Ersetze $<$ durch $=$ in $| x - 3 | + | x + 2 | < 11$ .

$| x - 3 | + | x + 2 | = 11$

Schritt 2

Subtrahiere $| x - 3 |$ von beiden Seiten der Gleichung.

$| x + 2 | = 11 - | x - 3 |$

Schritt 3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x + 2 = \pm (11 - | x - 3 |)$

Schritt 4

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$x + 2 = 11 - | x - 3 |$

$x + 2 = - (11 - | x - 3 |)$

Schritt 5

Löse $x + 2 = 11 - | x - 3 |$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Löse nach $| x - 3 |$ auf.

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Schritt 5.1.1

Schreibe die Gleichung als $11 - | x - 3 | = x + 2$ um.

$11 - | x - 3 | = x + 2$

Schritt 5.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $| x - 3 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.2.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- | x - 3 | = x + 2 - 11$

Schritt 5.1.2.2

Subtrahiere $11$ von $2$ .

$- | x - 3 | = x - 9$

Schritt 5.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- | x - 3 | = x - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- | x - 3 | = x - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- | x - 3 |}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 5.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| x - 3 |}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 5.1.3.2.2

Dividiere $| x - 3 |$ durch $1$ .

$| x - 3 | = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$| x - 3 | = - 1 \cdot x + \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 5.1.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$| x - 3 | = - x + \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 5.1.3.3.1.3

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$| x - 3 | = - x + 9$

Schritt 5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm (- x + 9)$

Schritt 5.3

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$x - 3 = - x + 9$

$x - 3 = - (- x + 9)$

Schritt 5.4

Löse $x - 3 = - x + 9$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - 3 + x = 9$

Schritt 5.4.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x - 3 = 9$

Schritt 5.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 9 + 3$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $9$ und $3$ .

$2 x = 12$

Schritt 5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 12$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 12$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{12}{2}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1

Dividiere $12$ durch $2$ .

$x = 6$

Schritt 5.5

Löse $x - 3 = - (- x + 9)$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache $- (- x + 9)$ .

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Schritt 5.5.1.1

Forme um.

$x - 3 = 0 + 0 - (- x + 9)$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x - 3 = - (- x + 9)$

Schritt 5.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 3 = - - x - 1 \cdot 9$

Schritt 5.5.1.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x - 3 = 1 x - 1 \cdot 9$

Schritt 5.5.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x - 3 = x - 1 \cdot 9$

Schritt 5.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$x - 3 = x - 9$

Schritt 5.5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 3 - x = - 9$

Schritt 5.5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 - x$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 - 3 = - 9$

Schritt 5.5.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3 = - 9$

Schritt 5.5.3

Da $- 3 \neq - 9$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 5.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 6$

Schritt 6

Löse $x + 2 = - (11 - | x - 3 |)$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Löse nach $| x - 3 |$ auf.

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Schritt 6.1.1

Schreibe die Gleichung als $- (11 - | x - 3 |) = x + 2$ um.

$- (11 - | x - 3 |) = x + 2$

Schritt 6.1.2

Vereinfache $- (11 - | x - 3 |)$ .

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Schritt 6.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 11 - - | x - 3 | = x + 2$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$- 11 - - | x - 3 | = x + 2$

Schritt 6.1.2.3

Multipliziere $- - | x - 3 |$ .

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Schritt 6.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 11 + 1 | x - 3 | = x + 2$

Schritt 6.1.2.3.2

Mutltipliziere $| x - 3 |$ mit $1$ .

$- 11 + | x - 3 | = x + 2$

Schritt 6.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $| x - 3 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.3.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$| x - 3 | = x + 2 + 11$

Schritt 6.1.3.2

Addiere $2$ und $11$ .

$| x - 3 | = x + 13$

Schritt 6.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm (x + 13)$

Schritt 6.3

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$x - 3 = x + 13$

$x - 3 = - (x + 13)$

Schritt 6.4

Löse $x - 3 = x + 13$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - 3 - x = 13$

Schritt 6.4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 - x$ .

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Schritt 6.4.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 - 3 = 13$

Schritt 6.4.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3 = 13$

Schritt 6.4.2

Da $- 3 \neq 13$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6.5

Löse $x - 3 = - (x + 13)$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache $- (x + 13)$ .

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Schritt 6.5.1.1

Forme um.

$x - 3 = 0 + 0 - (x + 13)$

Schritt 6.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x - 3 = - (x + 13)$

Schritt 6.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 3 = - x - 1 \cdot 13$

Schritt 6.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$x - 3 = - x - 13$

Schritt 6.5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - 3 + x = - 13$

Schritt 6.5.2.2

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x - 3 = - 13$

Schritt 6.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 13 + 3$

Schritt 6.5.3.2

Addiere $- 13$ und $3$ .

$2 x = - 10$

Schritt 6.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 10$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 10$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

Schritt 6.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

Schritt 6.5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 10}{2}$

Schritt 6.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.3.1

Dividiere $- 10$ durch $2$ .

$x = - 5$

Schritt 6.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 5$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 6, - 5$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (- 8) - 3 | + | (- 8) + 2 | < 11$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $17$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $11$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (0) - 3 | + | (0) + 2 | < 11$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $5$ ist kleiner als die rechte Seite $11$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (8) - 3 | + | (8) + 2 | < 11$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $15$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $11$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 < x < 6$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 5, 6)$

Schritt 12