Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 1$

Schritt 7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $20$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $20$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Schritt 10.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + i$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 11.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.3

Subtrahiere $20$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Schritt 11.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - i$

Schritt 12

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + i, 2 - i$

Schritt 13

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 4, - 1$

$x = 2 + i, 2 - i$

Schritt 14

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 4, - 1$

Schritt 15

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 16

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 16.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 16.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 - 4}{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 5} < 0$

Schritt 16.1.3

Die linke Seite $0.\overline{648}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 16.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 16.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 5} < 0$

Schritt 16.2.3

Die linke Seite $- 0.8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 16.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 16.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 4}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 5} < 0$

Schritt 16.3.3

Die linke Seite $0.82352941$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 16.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 17

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < 4$

Schritt 18

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 1, 4)$

Schritt 19