Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ , $f' (6)$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ .

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$9 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.5.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $9 x^{2} - 10 x + 5$ und $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$9 {(6)}^{2} - 10 \cdot 6 + 5$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$9 \cdot 36 - 10 \cdot 6 + 5$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $36$ .

$324 - 10 \cdot 6 + 5$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $6$ .

$324 - 60 + 5$

Schritt 3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $60$ von $324$ .

$264 + 5$

Schritt 3.2.2

Addiere $264$ und $5$ .

$269$