Analysis Beispiele

Ermittle die Umkehrfunktion f(x)=6x^2
Schritt 1
Schreibe als Gleichung.
Schritt 2
Vertausche die Variablen.
Schritt 3
Löse nach auf.
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Schritt 3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.3
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 3.4
Vereinfache .
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Schritt 3.4.1
Schreibe als um.
Schritt 3.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.3
Vereinige und vereinfache den Nenner.
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Schritt 3.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.3.2
Potenziere mit .
Schritt 3.4.3.3
Potenziere mit .
Schritt 3.4.3.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 3.4.3.5
Addiere und .
Schritt 3.4.3.6
Schreibe als um.
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Schritt 3.4.3.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.4.3.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.4.3.6.3
Kombiniere und .
Schritt 3.4.3.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 3.4.3.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.4.3.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.4.3.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 3.4.4
Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.
Schritt 3.4.5
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 4
Ersetze durch , um die endgültige Lösung anzuzeigen.
Schritt 5
Überprüfe, ob die Umkehrfunktion von ist.
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Schritt 5.1
Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von und und vergleiche sie.
Schritt 5.2
Finde den Wertebereich von .
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Schritt 5.2.1
Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.
Intervallschreibweise:
Schritt 5.3
Bestimme den Definitionsbereich von .
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Schritt 5.3.1
Setze den Radikanden in größer als oder gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 5.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 5.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 5.3.3
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 5.4
Bestimme den Definitionsbereich von .
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Schritt 5.4.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 5.5
Da der Definitionsbereich von der Wertebereich von ist und der Wertebereich von der Definitionsbereich von ist, ist die inverse Funktion von .
Schritt 6