Analysis Beispiele

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ als Gleichung.

$y = 3 e^{2 x} + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 e^{2 y} + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 e^{2 y} + 1 = x$ um.

$3 e^{2 y} + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 e^{2 y} = x - 1$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{2 y} = x - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{2 y} = x - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $e^{2 y}$ durch $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 3.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 3.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.5.1

Zerlege $\ln (e^{2 y})$ durch Herausziehen von $2 y$ aus dem Logarithmus.

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 3.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ um.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{2 x}$ heraus.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.2.6.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.6.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.6.1.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.6.1.4

Addiere $e^{2 x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.2.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Schritt 5.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Schritt 5.2.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Schritt 5.2.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.2.7

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Schritt 5.2.8

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Schritt 5.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

Schritt 5.3.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$