Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ als Gleichung.

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ um.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $1 - e^{y}$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e^{y}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $x (1 - e^{y})$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $x e^{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{y} + x e^{y}$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $x e^{y}$ heraus.

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ heraus.

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} (1 + x) = x - 1$ durch $1 + x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} (1 + x) = x - 1$ durch $1 + x$ .

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $e^{y}$ durch $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

Schritt 3.4.5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Schritt 3.4.6

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.6.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Schritt 3.4.6.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Schritt 3.4.6.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Schritt 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ mit $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Schritt 5.2.4.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Schritt 5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Schritt 5.2.6

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e^{x}$ .

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Schritt 5.2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Schritt 5.2.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e^{x}$ .

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Schritt 5.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Schritt 5.2.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Schritt 5.2.7.3

Multipliziere $- e^{x} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.2.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Schritt 5.2.7.3.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Schritt 5.2.7.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Schritt 5.2.7.5

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Schritt 5.2.7.6

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Schritt 5.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.8.1

Mutltipliziere $1 - e^{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

Schritt 5.2.8.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

Schritt 5.2.8.3

Addiere $- e^{x}$ und $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

Schritt 5.2.8.4

Addiere $2$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Schritt 5.2.9.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.2.10

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

Schritt 5.2.11

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

Schritt 5.2.12

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.4

Stelle die Terme um.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.5

Schreibe $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.5.1

Addiere $x$ und $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.3.5.3

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

Schritt 5.3.4.4

Stelle die Terme um.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$