Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$ um.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $e^{y} + 1$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y} + 1$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} - 1 = x (e^{y} + 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $x (e^{y} + 1)$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x \cdot 1$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y} - 1 - x e^{y} = x$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y} - x e^{y} = x + 1$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{y} - x e^{y}$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - x e^{y} = x + 1$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $- x e^{y}$ heraus.

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x) = x + 1$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x)$ heraus.

$e^{y} (1 - x) = x + 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} (1 - x) = x + 1$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} (1 - x) = x + 1$ durch $1 - x$ .

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $e^{y}$ durch $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{y} = \frac{x + 1}{1 - x}$

Schritt 3.4.5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Schritt 3.4.6

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.6.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Schritt 3.4.6.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Schritt 3.4.6.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + 1}{1 - (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Schritt 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e^{x} + 1$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}}$ mit $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}})$

Schritt 5.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1)}{(e^{x} + 1) (1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Schritt 5.2.5

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x} + 1$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Schritt 5.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x} + 1$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Schritt 5.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Schritt 5.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Mutltipliziere $e^{x} + 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Schritt 5.2.6.2

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} - 1 + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Schritt 5.2.6.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} + 0}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Schritt 5.2.6.4

Addiere $2 e^{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $e^{x} + 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - (e^{x} - 1)})$

Schritt 5.2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Schritt 5.2.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Schritt 5.2.7.4

Subtrahiere $e^{x}$ von $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{0 + 1 + 1})$

Schritt 5.2.7.5

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 + 1})$

Schritt 5.2.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Schritt 5.2.8.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.2.9

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \ln (e)$

Schritt 5.2.10

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \cdot 1$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.5

Stelle die Terme um.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe $\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 \cdot 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.6.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.3.3.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + 1 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.6.4

Addiere $x$ und $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.6.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.3.6.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{1 - x}{1 - x}}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1 + 1 - x}{1 - x}}$

Schritt 5.3.4.4

Stelle die Terme um.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{- x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{1 + 1}{- x + 1}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 (x)}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x}{- x + 1} \cdot (- x + 1)$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $\frac{x}{- x + 1}$ mit $- x + 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + 1$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Schritt 5.3.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$