Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$ um.

$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y$ .

$\frac{y}{4} - \frac{1}{2} = x$

Schritt 3.3

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{4} = x + \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

Schritt 3.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 (x + \frac{1}{2})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $4 (x + \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 4 x + 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = 4 x + 2 (2) \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 4 x + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 x + 2$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) + 2$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (\frac{- 1}{2}) + 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 (2) (\frac{- 1}{2}) + 2$

Schritt 5.2.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) + 2$

Schritt 5.2.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot - 1 + 2$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (4 x + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x + 2) - \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x)) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1 - 1}{2}$

Schritt 5.3.4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (4 x + 2) = x + \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (4 x + 2) = x + 0$

Schritt 5.3.4.4

Addiere $x$ und $0$ .

$f (4 x + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$